粘度計原理介紹：
同軸圓筒旋轉(zhuǎn)黏度計因其測量系統(tǒng)采用圓柱形轉(zhuǎn)筒 ,通過圓筒旋轉(zhuǎn)使被測試樣受到剪切而得名. 這種儀器最初產(chǎn)生于 1890 年 ,經(jīng)過不斷完善 ,到上世紀(jì) 40 年代后期 ,由于其適用范圍廣 ,測量結(jié)果準(zhǔn)確 ,操作方便而得到普遍應(yīng)用 ,現(xiàn)已成為最常用的流變測量儀器。
這種儀器有兩種類型 :一類是內(nèi)筒以一定的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn) ,用傳感器測定作用在外筒或內(nèi)筒上的轉(zhuǎn)矩 ,簡稱內(nèi)旋式或上旋式黏度計. 另一類是使外筒旋轉(zhuǎn) ,而用傳感器測定作用在內(nèi)筒軸上的轉(zhuǎn)矩 ,稱為外旋式或下旋式黏度計[1]. 在旋轉(zhuǎn)速度等條件相同的情況下 ,這個轉(zhuǎn)矩將隨流體的黏度而變化 ,黏度越大轉(zhuǎn)矩越大 ,因此測定轉(zhuǎn)矩就可以知道流體的黏度。
1 公式推導(dǎo)
1. 1 旋轉(zhuǎn)黏度計的基本公式
圖 1 
旋轉(zhuǎn)黏度計測量系統(tǒng)示意圖
同軸圓筒旋轉(zhuǎn)黏度計測量系統(tǒng)如圖 1所示 ,在半徑為 r2 的外筒里同軸地安裝了半徑為 r1 的內(nèi)筒 ,在兩同軸圓筒間充滿了黏性流體. 若內(nèi)筒以等角速度 Ω旋轉(zhuǎn) ,外筒固定 ,則由于流體具有黏性 ,圓筒旋轉(zhuǎn)時將帶動流體運動.
假設(shè)流體運動滿足以下條件 :1) 兩筒為無限長 ;2) 圓筒表面無滑移 ;3) 流體為牛頓流體 ;4) 在垂直于轉(zhuǎn)軸的水平面上 ,流動的流線是圓 ,即速度僅是半徑的函數(shù) ,徑向和軸向的流動為零 ;5)
運動為穩(wěn)態(tài)的 ,即連續(xù)性方程和運動方程的時間導(dǎo)數(shù)均為零 ;6) 系統(tǒng)恒溫.在內(nèi)外筒間距旋轉(zhuǎn)軸 r 處取厚度為 d r 的窄環(huán). 考慮到條件 5) ,窄環(huán)流體作恒速流動 ,角加速度為零 ,所受合力矩必須為零 ,則窄環(huán)內(nèi)側(cè)和外側(cè)所受的剪切力矩相等. 由于窄環(huán)是任意取的 ,故流體內(nèi)各流層所受剪切力矩相等 ,均等于內(nèi)筒轉(zhuǎn)動力矩. 各流層剪切力矩為
式中 , M 為各流層剪切力矩 , h 為內(nèi)筒在流體中的高度 ,τ為各流層中的切應(yīng)力.各流層剪切力矩 M 相等 ,但切應(yīng)力τ卻不相等 ,它是半徑 r 的函數(shù). 內(nèi)筒表面上的切應(yīng)力
外筒表面上的切應(yīng)力
這里 r1 < r2 ,故τ1 >τ2.由式(1) 得
將上式對 r 求導(dǎo) ,整理后得
內(nèi)外筒之間的流體因黏性作用在內(nèi)筒帶動下層旋轉(zhuǎn) ,各流層質(zhì)點的角速度不同. 設(shè)距旋轉(zhuǎn)軸 r處 ,流體質(zhì)點的角速度為ω( r) ,線速度 u = rω,則
其中 ω項不引起流體質(zhì)點的剪切變形 ,又內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)式黏度計 dω/ d r < 0 ,于是切變速度的大小為
將式(5) 代入式(7) 得到
，再積分得
式(8) 便是旋轉(zhuǎn)黏度計的基本公式.
1. 2 牛頓流體的流變測量牛頓流體的本構(gòu)方程為
式中 ,γ為切變速率 ,τ為切應(yīng)力 ,η為流體黏度 ,將其代入基本公式(8) 得
將式(2) 、(3) 代入上式得
式中 , k1 為儀器常數(shù). 對于指定的測量系統(tǒng) ,內(nèi)筒轉(zhuǎn)速一定時 , k1 為常數(shù)將τ=ηγ以及式 (11) 代入旋轉(zhuǎn)力矩平衡方程式(1) ,整理得內(nèi)筒壁切變速率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系 :
由式(12) 可見 ,牛頓流體的內(nèi)筒壁切變速率γ1 僅與內(nèi)筒轉(zhuǎn)速 Ω有關(guān) ,與流體的性質(zhì)無關(guān). 如內(nèi)筒的轉(zhuǎn)速為 n ,則
式中 , k2 為由測量系統(tǒng)尺寸決定的系數(shù).由式(2) 得到內(nèi)筒壁切應(yīng)力與旋轉(zhuǎn)力矩的關(guān)系 :
式中 , k3 為轉(zhuǎn)筒尺寸決定的轉(zhuǎn)筒常數(shù).因此 ,對于牛頓流體 ,試驗時測量內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)力矩M ,由式 (11) 就可算出被測流體的黏度 ;測量旋轉(zhuǎn)力矩 M 和內(nèi)筒轉(zhuǎn)速 n ,分別按式 (13) 、(14) 計算切變速率與切應(yīng)力 ,進而就能繪制流變曲線.
1. 3 非牛頓流體的流變測量和牛頓流體不同 ,對于非牛頓流體 ,其切應(yīng)力與切變速率是非線性關(guān)系 ,其比值τ/γ隨切變速率(或切應(yīng)力) 而變化 ,我們把這種在非牛頓流體場合下求得的不同的黏度值ηi 叫做在切變速率γi 下的表觀黏度或非牛頓黏度[2]. 非牛頓流體的流變測量可以采用表觀黏度測量方法進行.將非牛頓流體的本構(gòu)方程γ= f (τ) =τ/ηB 代入旋轉(zhuǎn)黏度計基本公式 ,得
式中 ,ηB 是非牛頓流體的表觀黏度.當(dāng)黏度計測量系統(tǒng)滿足窄縫條件 ,也就是內(nèi)外筒半徑遠大于兩筒間隙時 ,由式 (2) 、(3) 得τ2≈τ1≈τ,即圓筒間各流層切應(yīng)力相等. 由此 ,ηB 可在上式積分中近似取常值.積分上式 ,采用和牛頓流體相同的步驟得 :ηB = k1 M (15)
γ1 = k2 n (16)
τ1 = k3 M (17)
式中 , k1 、k2 、k3 分別與式(11) 、(13) 、(14) 中意義相同.根據(jù)以上分析 ,改變內(nèi)筒轉(zhuǎn)速 ,同時讀取內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)力矩 M 和轉(zhuǎn)速 n ,按式(16) 、(17) 計算 γ1 、τ1 值 ,便可繪制流變曲線[2 ,3]
上述結(jié)果是外筒固定 ,內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)的內(nèi)旋式黏度計測量公式. 若是內(nèi)筒不動 ,外筒旋轉(zhuǎn) ,經(jīng)推導(dǎo)可得到同一形式的關(guān)系式 ,只是式中 Ω 為外筒轉(zhuǎn)速. 需要說明的是 ,這種基于窄縫條件的測量方法是一種
設(shè)定被測試樣各點表觀黏度是常量的流體測量的近似方法 ,但由于其測量方法簡單 ,且尚能滿足一般工程流變測量的精度要求 , 故成為工程界常用的方法.
2 公式修正
由于儀器構(gòu)造的限制 ,實際上進行黏度的測定時 ,不可能用無限長的圓筒 ,因此由圓筒的旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的黏性力矩 ,不僅受兩筒側(cè)面部分的影響 ,也受圓筒的上下兩個端面部分的影響 ,特別是底面部分的影響更大. 因此有必要對上述計算公式作出修正.當(dāng)內(nèi)筒上下端面在被測試樣內(nèi)旋轉(zhuǎn)時 ,兩端產(chǎn)生附加力矩 ,相當(dāng)于增加了內(nèi)筒的高度 ,則he = h +Δh (18)式中 , he 為修正后的內(nèi)筒高度 ,Δh 為附加高度.Δh可用試驗的方法確定. 在內(nèi)外筒間充入不同高度的試樣 ,以充樣高度 h 和單位角速度旋轉(zhuǎn)力矩 M/ Ω作圖 ,在 h 軸上的截距就是Δh 值(如圖 2)
3 結(jié)束語
同軸圓筒旋轉(zhuǎn)黏度計的優(yōu)點是 ,當(dāng)內(nèi)外筒間隙很小時 ,被測流體各部分的切變速度接近均一. 但是由于儀器構(gòu)造的限制 ,即便操作上正確無誤 ,也會使受測試樣的實際流動狀態(tài)和測量的假設(shè)條件不完全相符 ,造成一定的測量誤差.
單就消除端面效應(yīng)來講 ,如果加長圓筒 ,并且將圓筒底面間的距離加大 ,就可以縮小這個影響 ,如圓筒相當(dāng)長時可忽略這個影響[2]. 某些旋轉(zhuǎn)黏度計為了減小端面附加力矩的影響 ,在構(gòu)造上進行了改進 ,例如在內(nèi)筒的上下安裝輔助圓筒或者使內(nèi)筒底部向里凹進 ,使空氣進入這里 ,還有把內(nèi)筒底部做成圓錐等特殊的形狀結(jié)構(gòu). 但是這種結(jié)構(gòu)上的改進仍有局限性 ,測高黏性流體時 ,會因液面波動帶來測量數(shù)據(jù)的不確定。
